ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30369
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите в натуральных числах уравнение:
  а)  x² – y² = 31;
  б)  x² – y² = 303.


Подсказка

Разложите левую часть на множители.


Решение

  x² – y² = (x – y)(x + y).

  а) Так как произведение равно простому числу 31, то больший множитель равен 31, а меньший – 1. Итак,  x – y = 1,  x + y = 31 , откуда  x = 16,  y = 15.

  б)  303 = 1·303 = 3·101.  Имеем два случая.
     1)  xy = 1,  x + y = 303,  откуда  x = 152,  y = 151.
     2)  x – y = 3,  x + y = 101,  откуда  x = 52,  y = 49.


Ответ

а)  (16, 15);   б)  (152, 151),  (52, 49).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 4
Название Делимость и остатки
Тема Теория чисел. Делимость
задача
Номер 012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .