Задача 116207

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Даны треугольник ABC и произвольная точка P, A₁, B₁ и C₁  – вторые точки пересечения прямых AP, BP и CP с описанной окружностью треугольника ABC, A₂, B₂ и C₂ – точки, симметричные A₁, B₁ и C₁ относительно прямых BC, CA и AB соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Решение

  ∠PBA₂ = |∠B₁BA₁ – 2∠CBA₁| = |∠B₁AC – ∠CBA₁| = |∠B₂AC – ∠CAA₁| = ∠PAB₂. Kроме того,  A₂B : B₂A = A₁B : B₁A = sin∠PAB : sin∠PBA = PB : PA.  Cледовательно, треугольники PBA₂ и PAB₂ подобны, то есть  PA₂ : PB₂ = PB : PA = PA₁ : PB₁  и  ∠A₂PB = ∠APB₂.  Это равносильно тому, что
∠A₂PB₂ = ∠B₁PA₁,  откуда следует подобие треугольников PA₁B₁ и PA₂B₂.
  Aналогично доказывается подобие еще двух пар треугольников: PB₁C₁ и PB₂C₂, PC₁A₁ и PC₂A₂. Cледовательно, подобны треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	04 (2006 год)
Дата	2006-04-2
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	6