ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116147
Темы:    [ Подсчет двумя способами ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли в клетки квадрата 10×10 поставить некоторое количество звёздочек так, чтобы в каждом квадрате 2×2 было ровно две звёздочки, а в каждом прямоугольнике 3×1 – ровно одна звёздочка? (В каждой клетке может стоять не более одной звёздочки.)


Решение

  Первый способ. Пусть так расставить звёздочки удалось. Квадрат 10×10 можно разбить на 25 непересекающихся квадратов 2×2. Так как в каждом из них – по две звёздочки, то всего звёздочек 50. С другой стороны, 99 клеток исходного квадрата можно разбить на 33 непересекающихся прямоугольника 3×1. В каждом из них – по одной звёздочке, поэтому всего в квадрате – не больше 34 звёздочек. Противоречие.

  Второй способ. Докажем, что требуемым образом нельзя заполнить даже квадрат 3×3. Действительно, так как в каждом прямоугольнике 3×1 должна стоять только одна звёздочка, то в каждой строке и в каждом столбце квадрата 3×3 должно стоять только по одной звёздочке. Рассмотрим левый верхний квадрат 2×2. В нём должно быть две звёздочки. Но тогда в третьем столбце первой и второй строки не должно быть звёздочек, значит, в правом верхнем квадрате 2×2 будет стоять только одна звёздочка, а не две.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
1
Класс 7
задача
Номер 7.2.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .