ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116015
Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?


Решение

  Пусть друзья внесли а, b, c, d и е рублей соответственно. Тогда общая сумма S внесённых денег равна  а + b + c + d + е.
  Предположим, что каждые два друга внесли меньше чем S/3 рублей. Тогда каждое из чисел  а + b,  b + c,  c + d,  d + e  и  e + a  меньше S/3. Складывая, получим  2(а + b + c + d + е) < 5S/3,  то есть  6S < 5S.  Противоречие.


Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
1
Класс 9
задача
Номер 9.3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .