ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115668
Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O, равны между собой углы BAC и CBD, а также углы BCA и CDB. Докажите, что касательные, проведённые из точек B и C к описанной окружности треугольника AOD, равны.


Решение

  Треугольник ABC подобен треугольнику BOC по двум углам, поэтому  CA : BC = BC : CO,  откуда  CA·CO = BC².  Аналогично  BO·BD = BC²,  значит,  CA·CO = BO·BD.
  Пусть прямая, проведённая через точку B, касается описанной окружности в точке K, а прямая, проведённая через точку C, касается этой окружности в точке L. По теореме о касательной и секущей  BK² = BO·BD = CA·CO = CL².  Следовательно,  BK = CL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2559

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .