Задача 115648

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диметром AC . Точки K и M — проекции вершин A и C соответственно на прямую BD . Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P . Докажите, что угол KPM — прямой.

Решение

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E , а точка P расположена между C и E . Тогда

PKD = CBD = CAD = PAD,
значит, из точек K и A , лежащих по одну сторону от прямой PD , отрезок PD виден под одним и тем же углом, поэтому точки A , K , P и D лежат на одной окружности, а т.к. AK BD , то AD — диаметр этой окружности, значит, CPD = APD = 90^o .
Из точек P и M отрезок CD виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CD . Тогда
MPA = 180^o- CPM = CDM = CDB = CAB,
поэтому PM || AB , а т.к. PK || BC и AB BC , то PM PK , что и требовалось доказать. Аналогично для случая, когда точка P расположена между A и E .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6616