Задача 115630

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Углы между биссектрисами ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O – центр вписанной окружности. Известно, что  BC = 24,  MN = 12.
Найдите радиус описанной окружности треугольника BOC.

Решение

  Точки M и N лежат на окружности с диаметром BC.
  Пусть угол A – острый (рис. слева). Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия  cos∠A = ^MN/_BC = ½.  Значит,  ∠A = 60°,  а  ∠BOC = 120°  (см. задачу 55448).
  По теореме синусов радиус описанной окружности треугольника BOC равен  

  Пусть теперь угол A – тупой (рис. справа). Тогда   cos∠CAN = ½.  Значит, ∠CAN = 60°,  ∠A = 120°,  ∠BOC = 150°.
  Поэтому радиус описанной окружности треугольника BOC равен   = 24.

Ответ

8   или 24.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3380