Задача 115343

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть I и I_A – соответственно центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC. Прямая l_A проходит через ортоцентры треугольников BIC и BI_AC. Аналогичным образом определяются прямые l_B и l_C . Докажите, что прямые l_A, l_B и l_C пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть A₁ – середина стороны BC, H_A – ортоцентр треугольника BIC, G_A – ортоцентр треугольника BI_AC. Угол между биссектрисами смежных углов – прямой, поэтому  ∠IBI_A = ∠ICI_A = 90°.  Прямые BI и CG_A перпендикулярны прямой BI_A, поэтому они параллельны. Аналогично параллельны прямые CI и BG_A, значит, четырёхугольник BICG_A – параллелограмм. Точка A₁ – его центр, то есть точки I и G_A симметричны относительно точки A₁. Аналогично точки I_A и H_A симметричны относительно точки A₁. Таким образом, при симметрии относительно точки A₁ прямая l_A (то есть H_AG_A) переходит в прямую I_AI, то есть в прямую, содержащую биссектрису угла A треугольника ABC. Аналогично прямые l_B и l_C симметричны биссектрисам углов B и C относительно середин сторон AC и AB соответственно.
  Через вершины треугольника ABC проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам. Обозначим вершины треугольника, образованного пересечениями этих прямых через A₂, B₂ и C₂ соответственно  (A₂B₂ || AB,  A₂C₂ || AC  и  B₂C₂ || BC).  Четырёхугольник ABA₂C – параллелограмм, поэтому прямая l_A, симметричная AI относительно точки A₁, содержит биссектрису угла A₂ треугольника A₂B₂C₂. Аналогично, прямые l_B и l_C содержат биссектрисы углов соответственно B₂ и C₂ этого треугольника, а значит, прямые l_A, l_B и l_C пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6347