Задача 109938
|
|
 |
Условие
На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 71998. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 19987?
Решение
Посмотрим, как изменяется при этой операции остаток от деления числа на 7. Пусть b – последняя цифра числа. Тогда оно имеет вид 10a + b, а в результате применения операции получается a + 5b. Поскольку 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a, то остаток умножается на 5. Поскольку исходное число делилось на 7, то все числа, появляющиеся на доске, тоже будут делиться на 7. Следовательно, 19987 никогда не будет получено.
Ответ
Не может.
