ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109491
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие натуральные числа x и y, что  x² + x + 1  является натуральной степенью y, а  y² + y + 1  – натуральной степенью x?


Решение

  Если  x = y,  то  x² + x + 1 = xn.  В этом случае правая, а значит, и левая часть делится на x. Это возможно только при  x = 1.  Но тогда  3 = 1.  Противоречие.
  Если  x ≠ y,  то без ограничения общности можно считать, что  x > y.  Тогда  x² ≥ (y + 1)² > y² + y + 1,  значит,  y² + y + 1 = x.  Итак,
(y² + y + 1)² + (y² + y + 1) + 1 = yn.  Раскрыв скобки, получим  y4 + 2y³ + 4y² + 3y + 3 = yn.  Значит, 3 делится на y. Но ни 1, ни 3 не подходят.


Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 70
Год 2007
вариант
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .