ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109339
Темы:    [ Правильная призма ]
[ Сфера, описанная около призмы ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной призмы с высотой h и стороной основания a.

Решение

Центр сферы радиуса R, описанной около правильной n-угольной призмы, совпадает с серединой отрезка QQ′, соединяющего центры оснований AA₂…An и A′AAn. Сечение призмы и сферы, плоскостью основания AA₂…An есть правильный многоугольник AA₂…An, вписанный в окружность с центром в точке Q. Пусть r ─ радиус этой окружности, M ─ середина стороны AA₂. Из прямоугольных треугольников QMA₁ и OQA₁ находим, что

r = QA₁ = 
MA
sin ∠MQA
 = 
MA
sin ½∠AQA
 = 
a
2 sin ¹⁸⁰°⁄n
,

R = 
OQ² + AQ²
 = 
h²
4
 + 
a²
4 sin² ¹⁸⁰°⁄n
 = 
h² sin² ¹⁸⁰°⁄n + a²
2 sin ¹⁸⁰°⁄n
.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8378

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .