Условие
На сторонах
AC и
BC треугольника
ABC отметили
точки
P и
Q соответственно. Оказалось, что
AB=AP=BQ=1
, а точка пересечения отрезков
AQ и
BP
лежит на вписанной окружности треугольника
ABC .
Найдите периметр треугольника
ABC .
Решение
Пусть вписанная окружность
треугольника
ABC касается
его сторон
AB ,
BC и
AC в точках
S ,
R и
T ;
M –
точка пересечения отрезков
AQ и
BP .
Можно заметить, что точка
P лежит на отрезке
CT , а точка
Q
– на отрезке
CR . Тогда отрезки
AM и
BM вторично пересекают
окружность
. Обозначим точки пересечения через
K и
L
соответственно.
Если
I – центр окружности
, то
BI – биссектриса угла
BAC .
При симметрии относительно прямой
BI точка
S перейдёт
в
R , точка
A – в
Q (т.к.
BQ=BA ), а окружность
–
в себя. Поэтому дуги
KS и
MR равны. Аналогично докажем, что
равны дуги
SL и
MT . Поскольку
BI 
AM и
AI BM ,
T –
ортоцентр треугольника
ABM . Поэтому
MI AB , и
MS – диаметр
окружности
.
Значит, равны дуги
KT и
RL .
Следовательно, дуга
KTMR равна
180
o , а значит,
KR –
диаметр окружности
.
При гомотетии с центром
A , переводящей окружность
во вневписанную
окружность
' треугольника
ABC , касательная
l в точке
K к окружности
перейдёт в параллельную ей касательную к окружности
' , т.е.
в прямую
BC , а луч
AK – в себя. Поэтому
Q – точка касания окружности
' со стороной
BC .
Тогда, если
p – полупериметр треугольника
ABC , то
1 = BQ = p- AB = p-1.
Отсюда находим, что
p=2
. Следовательно, периметр треугольника
ABC равен 4.
Ответ
4.00
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6239 |
