ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102700
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

AC и BD — диагонали вписанного четырёхугольника ABCD. Углы DAC и ABD равны соответственно $ \gamma$ и $ \delta$, сторона CD = a. Найдите площадь треугольника ACD


Подсказка

Примените теорему синусов к треугольнику ACD.


Решение

Поскольку вписанные углы ACD и ABD опираются на одну и ту же дугу, то

$\displaystyle \angle$ACD = $\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle \delta$.

Применяя теорему синусов к треугольнику ACD, получим:

$\displaystyle {\frac{AC}{\sin (180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD)}}$ = $\displaystyle {\frac{CD}{\sin \angle CAD}}$, или $\displaystyle {\frac{AC}{\sin (180^{\circ} - \gamma - \delta)}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin \gamma}}$.

Отсюда находим, что

AC = a . $\displaystyle {\frac{\sin (180^{\circ} - \gamma - \delta)}{\sin \gamma}}$ = a . $\displaystyle {\frac{\sin (\gamma + \delta)}{\sin \gamma}}$.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . CD . AC . sin$\displaystyle \angle$ACD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . a . a . $\displaystyle {\frac{\sin (\gamma + \delta)}{\sin \gamma}}$ . sin$\displaystyle \delta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a2 . $\displaystyle {\frac{\sin \delta\cdot \sin (\gamma + \delta)}{\sin \gamma}}$.


Ответ

$ {\frac{1}{2}}$a2 . $ {\frac{\sin \delta\cdot \sin (\gamma + \delta)}{\sin \gamma}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4144

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .