Информация о задаче

Задача 102485

Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]
Темы:	[	Скалярное произведение. Соотношения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вокруг треугольника MKH описана окружность радиуса r с центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Для сторон треугольника выполнено соотношение HK² - HM² = HM² - MK². Найдите площадь треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан треугольника MKH.

Решение

Обозначим HK = b, KM = c. Из условия задачи следует, что

b² - a² = a² - c² $\displaystyle \Rightarrow$ b² + c² = 2a².

Пусть KK₁ — медиана треугольника MKH. По формуле для медианы

KK₁² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2b² + 2c² - a²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (4a² - a²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ a².

Поэтому

KL = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ KK₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ .

Поскольку L — точка пересечения медиан треугольника MKH, то

$\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{L}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{M}$ + $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{K}$ + $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{H}$ ).

Обозначим

$\displaystyle \angle$ KOM = 2 $\displaystyle \gamma$ , $\displaystyle \angle$ KOH = 2 $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ MOH = 2 $\displaystyle \alpha$ .

(половина каждого из этих углов равна соответствующему углу треугольника MKH или дополняет его до 180^o). Тогда

OL² = $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{L}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ( $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{M}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{K}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{H}^{2}_{}$ + 2 $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{M}$ ^. $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{K}$ + 2 $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{K}$ ^. $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{H}$ + 2 $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{M}$ ^. $\displaystyle \overline{O}$ $\displaystyle \overline{H}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ (r² + r² + r² + 2r^.r^.cos 2 $\displaystyle \gamma$ + 2r^.r^.cos 2 $\displaystyle \beta$ + 2r^.r^.cos 2 $\displaystyle \alpha$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ r²(3 + 2(cos 2 $\displaystyle \gamma$ + cos 2 $\displaystyle \beta$ + cos 2 $\displaystyle \alpha$ )) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ r²(3 + 2(1 - 2 sin² $\displaystyle \gamma$ + 1 - 2 sin² $\displaystyle \beta$ + 1 - 2 sin² $\displaystyle \alpha$ )) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ r²(9 - 4(sin² $\displaystyle \gamma$ + sin² $\displaystyle \beta$ + sin² $\displaystyle \alpha$ )) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ r² $\displaystyle \left(\vphantom{9-4\left(\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2r}\right)^{2}+ \left(\frac{a}{2r}\right)^{2}\right)}\right.$ 9 - 4 $\displaystyle \left(\vphantom{\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2r}\right)^{2}+ \left(\frac{a}{2r}\right)^{2}}\right.$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{c}{2r}}\right.$ $\displaystyle {\frac{c}{2r}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{c}{2r}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b}{2r}}\right.$ $\displaystyle {\frac{b}{2r}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b}{2r}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a}{2r}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a}{2r}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a}{2r}}\right)^{2}_{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2r}\right)^{2}+ \left(\frac{a}{2r}\right)^{2}}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{9-4\left(\left(\frac{c}{2r}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2r}\right)^{2}+ \left(\frac{a}{2r}\right)^{2}\right)}\right)$ =

= r² - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ^.4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a² + b² + c²) = r² - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ^.3a² = r² - $\displaystyle {\frac{a^{2}}{3}}$ .

Таким образом, нам известны стороны OL = $\sqrt{r^{2} - \frac{a^{2}}{3}}$ , KL = ${\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ и OK = r треугольника OLK. Поскольку

OL² + KL² = $\displaystyle \left(\vphantom{r^{2}-\frac{a^{2}}{3}}\right.$ r² - $\displaystyle {\frac{a^{2}}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{r^{2}-\frac{a^{2}}{3}}\right)$ + $\displaystyle {\frac{a^{2}}{3}}$ = r² = OK²,

то треугольник OLK — прямоугольный, причём KL и OL — его катеты. Следовательно,

S_OLK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.KL^.OL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{3}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2\sqrt{3}}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{r^{2}-\frac{a^{2}}{3}}$ .

Ответ

${\frac{a}{2\sqrt{3}}}$ ^. $\sqrt{r^{2} - \frac{a^{2}}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3908