Информация о задаче

Задача 102368

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность проходит через вершину B треугольника ABC, касается стороны AC в её середине D и пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB : BC = 3 : 2. Найдите отношение площади треугольника AMD к площади треугольника DNC.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей и теорему синусов.

Решение

Из теоремы о касательной и секущей следует, что

AM^.AB = AD² = CD² = CN^.BC,

Откуда находим, что ${\frac{AM}{CN}}$ = ${\frac{BC}{AB}}$ = ${\frac{2}{3}}$ . По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{\sin \angle BAC}{\sin \angle ACB}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMD}}{S_{\Delta DNC}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AD\cdot \sin \angle BAC}{\frac{1}{2}\cdot CN\cdot CD\cdot \sin \angle ACB}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{CN}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AD}{CD}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin \angle BAC}{\sin \angle ACB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{1}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ .

Ответ

4 : 9.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3797