ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 101893
Темы:    [ Диаметр, основные свойства ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а 3AC + 2BD = 5$ \sqrt{5}$.

Подсказка

Докажите, что AC — диаметр окружности.

Решение

Поскольку DE — общее основание равновеликих треугольников ADE и CDE, то их высоты, опущенные из вершин A и C, равны, поэтому AC$ \Vert$DE. Аналогично BC$ \Vert$AD. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому

$\displaystyle \angle$ACE = $\displaystyle \angle$ADE = $\displaystyle \angle$CAD = $\displaystyle \angle$DBC = $\displaystyle \angle$ACB.

Значит, CA — биссектриса угла BCE и AB = AE, а прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BE. Следовательно, отрезок AC — диаметр окружности, а четырёхугольник ABCD — прямоугольник. Поэтому AC = BD и по условию задачи 3AC + 2BD = 5CD = 5$ \sqrt{5}$. Значит, диаметр окружности равен $ \sqrt{5}$, а её длина равна $ \pi$$ \sqrt{5}$.


Ответ

$ \pi$$ \sqrt{5}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3632

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .