Целые числа a, b, c и d таковы, что  a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴  делится на 5. Докажите, что abcd делится на 625.

   Решение

Решить в целых числах уравнение   = m.

   Решение

Тема:    [ Построение треугольников по различным точкам ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC, зная три точки A', B', C', симметричные центру O описанной окружности этого треугольника относительно сторон BC, CA, AB.

Решение

Обозначим середины сторон BC, CA, AB треугольника через  A₁, B₁, C₁ соответственно. Поскольку  BC| B₁C₁| B'C' и  OA₁ BC, то  OA' B'C'. Аналогично  OB' A'C' и  OC' A'B', т. е. O — точка пересечения высот треугольника A'B'C'. Построив точку O, проводим серединные перпендикуляры к отрезкам  OA', OB', OC'. Эти прямые образуют треугольник ABC.

Источники и прецеденты использования