Страница:
<< 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 271]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие пары натуральных чисел x, y, что числа x³ + y и y³ + x делятся на x² + y².
Решение
См. задачу 98440.
Ответ
(1, 1).
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?
Решение
См. задачу 60495.
Ответ
800 вершин.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Даны такие натуральные числа
a и
b, что число
a+1/
b +
b+1/
a является целым.
Докажите, что наибольший общий делитель чисел
a и
b не превосходит числа
.
Решение
Пусть d = НОД(a, b). Так как ab делится на d², то a² + b² + a + b делится на d². Число a² + b² также делится на d². Поэтому a + b делится на d² и ≥ d.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².
Решение
Сравним степени, в которых данное простое число p входит в левую и правую части доказываемого неравенства. Пусть p входит в разложение числа k на простые множители в степени α, в разложение числа m – в степени β и в разложение числа n – в степени γ.
Без ограничения общности можно считать, что α ≤ β ≤ γ. Тогда в правую часть p входит в степени 2γ, а в левую – в степени β + 2γ, откуда и следует требуемое
неравенство.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Натуральные числа m и n таковы, что НОК(m, n) + НОД(m, n) = m + n. Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.
Решение
Положим m = kd, n = ld, где d = НОД(m, n). Тогда НОК(m, n) = kld и, значит, kld + d = kd + ld. Отсюда (k – 1)(l – 1) = 0, то есть k = 1 или l = 1. В первом случае m = d, и n делится на m; во втором случае – наоборот.
Страница:
<< 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 271]
Фильтр
