ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Площадь
>>
Площадь треугольника.
>>
Площадь треугольника (через высоту и основание)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]
РешениеСогласно задаче 56771 площадь среднего из четырехугольников, заданных отрезками, соединяющими точки сторон AB и CD, в пять раз меньше площади исходного четырехугольника. А так как каждый из рассматриваемых отрезков делится отрезками, соединяющими соответствующие точки другой пары противоположных сторон, на пять равных частей (см. задачу 56471), то, воспользовавшись еще раз результатом задачи 56771, получим требуемое.
На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB1A2, BCC1B2 и CAA1C2. На отрезках A1A2 и B1B2 также во внешнюю сторону от треугольников AA1A2 и BB1B2 построены квадраты A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Докажите, что A3B4 || AB. Решение Поскольку AB = BB1, BC = BB2 и ∠B1BB2 = π − ∠ABC, то SABC = SBB1B2. Аналогично, SB1A2A3 = SAA1A2 = SABC = SBB1B2 = SB1A2B4. Следовательно,
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны. ПодсказкаИз условия следует, что равны площади треугольников ABD и ACD. РешениеЗаметим, что SABD = SAOB + SAOD = SCOD + SAOD = SACD. У треугольников ABD и ACD общее основание AD, следовательно, у них равные высоты, опущенные на сторону AD. Это означает, что точки B и C равноудалены от прямой AB. Поскольку B и C находятся по одну сторону от прямой AB, то BC || AD.
Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K – на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK. РешениеУ треугольников AMB и ABC общая высота, проведённая из вершины A, поэтому их площади относятся как основания, значит, Аналогично, Следовательно, Ответ
Точки M и N расположены на стороне AC треугольника ABC, а точки K и L – на стороне AB, причём AM : MN : NC = 1 : 3 : 1 и AK = KL = LB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника KLNM. РешениеУ треугольников ABN и ABC общая высота, проведённая из вершины C, поэтому их площади относятся как основания, значит, $$S_{ABN} = \frac{AN}{AB} \cdot S_{ABC} = \frac45 \cdot 1 = \frac45.$$ Аналогично, $$S_{ANL} = \frac{AL}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac23 \cdot \frac45 = \frac{8}{15},$$ $$S_{ANK} = \frac{AK}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac13 \cdot \frac45 = \frac4{15},$$ $$S_{AKM} = \frac{AM}{AN} \cdot S_{ANK} = \frac14 \cdot \frac4{15} = \frac1{15}.$$ Следовательно, $$S_{KLNM} = S_{ALN} - S_{AKM} = \frac8{15} - \frac1{15} = \frac7{15}.$$ Ответ$\frac7{15}$.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|