Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 199]      

На доске выписаны числа 1, 2, ..., 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число  ab + a + b.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

Решение

Заметим, что  ab + a + b + 1 = (a + 1)(b + 1).  Это, значит, что если все числа увеличить на 1, то произведение новых чисел при указанной операции не меняется. В начале (а значит, и в конце) оно равно 21!.

Ответ

21! – 1.

Прислать комментарий

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Подсказка

Чётность числа чёрных клеток в квадрате из клеток a1, a2, b1, b2 не меняется при перекрашиваниях.

Решение

Выделим квадрат 2×2, содержащий ровно одну чёрную клетку. Далее см. задачу 30756.

Прислать комментарий

В странах Диллии и Даллии денежными единицами являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на 10 диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может свободно перезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством диллеров.

Решение

Инвариант - остаток по модулю 11 разности между числом диллеров и числом даллеров у финансиста.

Прислать комментарий

На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?

Решение

Нельзя. Рассмотрите величину s, равную сумме числа камней и числа куч.

Прислать комментарий

Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны a и b, то их можно заменить на     и   .  Можно ли с помощью таких операций получить тройку     из тройки  

Подсказка

Рассмотрите сумму квадратов чисел тройки.

Решение

Заметим, что     Поэтому сумма квадратов чисел тройки не меняется. Но     а  

Ответ

Нельзя.

Прислать комментарий

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 199]