ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 192]      



Задача 30757

Темы:   [ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

Подсказка

Чётность числа чёрных клеток в квадрате из клеток a1, a2, b1, b2 не меняется при перекрашиваниях.

Решение

Выделим квадрат 2×2, содержащий ровно одну чёрную клетку. Далее см. задачу 30756.

Прислать комментарий

Задача 30766

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

В странах Диллии и Даллии денежными единицами являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на 10 диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может свободно перезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством диллеров.

Решение

Инвариант - остаток по модулю 11 разности между числом диллеров и числом даллеров у финансиста.

Прислать комментарий

Задача 30777

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?

Решение

Нельзя. Рассмотрите величину s, равную сумме числа камней и числа куч.

Прислать комментарий

Задача 30779

Тема:   [ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны a и b, то их можно заменить на     и   .  Можно ли с помощью таких операций получить тройку     из тройки  

Подсказка

Рассмотрите сумму квадратов чисел тройки.

Решение

Заметим, что     Поэтому сумма квадратов чисел тройки не меняется. Но     а  

Ответ

Нельзя.

Прислать комментарий

Задача 34845

Темы:   [ Инварианты ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

См. задачу 73546 а).

Прислать комментарий

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 192]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .