Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]

Задача 57544

Темы:	[	Угол (экстремальные свойства)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

Решение

Рассмотрим угол X'A'Y', симметричный углу XAY относительно точки O. Пусть B и C — точки пересечения сторон этих углов. Обозначим точки пересечения прямой, проходящей через точку O, со сторонами углов XAY и X'A'Y' через B₁, C₁ и B₁', C₁' соответственно (рис.). Так как S_AB₁C₁ = S_A'B₁'C₁', то S_AB₁C₁ = (S_ABA'C + S_BB₁C₁' + S_CC₁B₁')/2. Площадь треугольника AB₁C₁ минимальна, если B₁ = B и C₁ = C, т. е. искомой прямой является BC.

Прислать комментарий

Задача 57547

Тема:

[

Угол (экстремальные свойства)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Внутри острого угла BAC дана точка M. Постройте на сторонах BA и AC точки X и Y так, чтобы периметр треугольника XYM был минимальным.

Решение

Пусть точки M₁ и M₂ симметричны M относительно прямых AB и AC. Так как $\angle$ BAM₁ = $\angle$ BAM и $\angle$ CAM₂ = $\angle$ CAM, то $\angle$ M₁AM₂ = 2 $\angle$ BAC < 180^o. Поэтому отрезок M₁M₂ пересекает лучи AB и AC в некоторых точках X и Y (рис.). Докажем, что X и Y — искомые точки. В самом деле, если точки X₁ и Y₁ лежат на лучах AB и AC, то MX₁ = M₁X₁ и MY₁ = M₂Y₁, т. е. периметр треугольника MX₁Y₁ равен длине ломаной M₁X₁Y₁M₂. Из всех ломаных с концами в точках M₁ и M₂ наименьшую длину имеет отрезок M₁M₂.

Прислать комментарий

Задача 57548

Тема:

[

Угол (экстремальные свойства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Дан угол XAY. Концы B и C отрезков BO и CO длиной 1 перемещаются по лучам AX и AY. Постройте четырехугольник ABOC наибольшей площади.

Решение

Четырехугольник ABOC наибольшей площади выпуклый. Среди всех треугольников ABC с фиксированными углом A и стороной BC наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием BC. Значит, среди всех рассматриваемых четырехугольников ABOC с фиксированной диагональю BC наибольшую площадь имеет четырехугольник, для которого AB = AC, т. е. точка O лежит на биссектрисе угла A. Рассмотрим, далее, треугольник ABO, в котором фиксированы угол BAO, равный $\angle$ A/2, и сторона BO. Площадь этого треугольника максимальна, когда AB = AO.

Прислать комментарий

Задача 54611

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Угол (экстремальные свойства)	]
	[	Построения (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На одной из сторон угла взяты две точки A и B. Найдите на другой стороне угла точку C такую, чтобы угол ACB был наибольшим. Постройте точку C с помощью циркуля и линейки.

Подсказка

Задача сводится к построению окружности, проходящей через две данные точки и касающейся данной прямой.

Решение

Пусть O — вершина угла. Через точки A и B проведём окружность, касающуюся второй стороны угла. Если C — точка касания, то по теореме о касательной и секущей OC² = OB^.OA. Отрезок OC — среднее геометрическое отрезков OB и OA.

Докажем теперь, что угол ACB наибольший из всех углов с вершиной на второй стороне данного угла. Пусть M — точка на этой стороне угла, отличная от C. Если P и Q — точки пересечения с окружностью отрезков AM и BM, то угол AMB измеряется полуразностью дуг AB и PQ, а угол ACB — половиной дуги AB. Следовательно, он больше.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]