ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]
РешениеТак как площадь правильного треугольника со стороной a равна a2Остается доказать, что из полосы шириной
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Tочка A лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые AP и AQ пересекают вторую окружность в точках B и C соответственно. Укажите положение точки A, при котором треугольник ABC имеет наибольшую площадь. Решение При движении точки A по первой окружности (рис. слева) угол PAQ не меняется. Поскольку угол PAQ равен полуразности дуг BC и PQ, то угловая величина дуги BC постоянна, то есть постоянна длина хорды BC. ОтветA – пересечение первой окружности с линией центров.
В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника. ПодсказкаРасстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны. Решение Пусть PQ – указанный отрезок касательной к окружности, вписанной в треугольник ABC с периметром 2p, PQ || AC. Обозначим PQ = x, AC = b.
Ответp/4.
В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC. РешениеИз условия следует, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 120° (см. рисунок). Из треугольника АВD: ∠DAB + ∠DBA = ∠B = 60°, значит, ∠DAB = ∠DBС. Следовательно, треугольники DAB и DBС подобны. Поэтому Ответ
Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: "Как пройти в село NN?" Ему ответили: "Иди по левой дороге до деревни N – это в 8 верстах отсюда, – там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога – это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, – значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN". – "Ну, а какой путь короче-то будет?" – "Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы". И пошёл крестьянин по правой дороге. Решение Пусть A – развилка дорог, B – деревня N, C – село NN, D – точка, где правая дорога выходит на железнодорожное полотно. Первый способ. Пусть ∠BAC = α, ∠CAD = β. Тогда cos α cos β = ½ (cos (α – β) + cos 60°) ≥ ¾. Из треугольника ADC получаем: Второй способ. Пусть AD = x, тогда BC = 2x – 8. По теореме косинусов (из треугольника ABD) BD² = x² + 64 – 8x. С другой стороны, неравенство треугольника дает BD < BC + CD = 3x – 8, откуда x² + 64 – 8x < (3x – 8)², 8x² > 40x, то есть x > 5. ОтветПо дорогам – больше 10 вёрст, напрямик – меньше.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |