Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 72]
|
|
Сложность: 8- Классы: 9,10,11
|
Пусть на двух пересекающихся прямых
l1 и
l2
выбраны точки
M1 и
M2, не совпадающие с точкой
пересечения
M этих прямых. Поставим в соответствие им
окружность, проходящую через
M1,
M2 и
M.
Если (
l1,
M1), (
l2,
M2), (
l3,
M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче
2.80, а)
три окружности, соответствующие парам (
l1,
M1) и (
l2,
M2),
(
l2,
M2) и (
l3,
M3), (
l3,
M3) и (
l1,
M1),
пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке
прямых с точками.
а) Пусть
l1,
l2,
l3,
l4 — четыре прямые общего положения,
на каждой из которых задано по точке, причем эти точки
лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки,
соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной
из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из
n прямых общего
положения с заданными на них точками, лежащими на
одной окружности, можно поставить в соответствие точку
(при нечетном
n) или окружность (при четном
n) так, что
n
окружностей (точек при четном
n), соответствующих
наборам из
n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат
на этой окружности при четном
n).
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10
|
В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет
форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон
решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две
башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)
На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону от AC.
Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние a.
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
На прямой отмечено 100 точек, и ещё одна точка отмечена вне прямой. Рассмотрим все треугольники с вершинами в этих точках.
Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую
через две данные точки и касающуюся данной прямой.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 72]