ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      



Задача 58329

 [Задача Аполлония]
Темы:   [ Построение окружностей ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Постройте окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

Решение

Сведем эту задачу к задаче 28.10. Пусть окружность S радиуса r касается окружностей S1, S2, S3 радиусов r1, r2, r3 соответственно. Касание окружности S с каждой из Si (i = 1, 2, 3) может быть как внешним, так и внутренним, поэтому всего возможно восемь различных случаев касания. Пусть, например, S касается S1 и S3 внешним, а S2 — внутренним образом (рис.). Заменим окружности S, S2, S3 на концентрические им окружности S', S2', S3' так, чтобы S' касалась S2' и S3' и проходила через центр O1 окружности S1. Для этого достаточно, чтобы радиусы S', S2', S3' равнялись r + r1, r2 + r1, | r3 - r1|. Обратно, по окружности S', проходящей через O1 и касающейся S2' и S3' (внешне, если r3 - r1$ \ge$ 0, и внутренне, если r3 - r1 < 0), мы можем построить окружность S, дающую решение задачи, уменьшив радиус S' на r1. Построение такой окружности S' описано в решении задачи 28.10 (если виды касания заданы, то окружность строится однозначно). Таким же способом можно выполнить построение и в остальных возможных вариантах касания.


Прислать комментарий

Задача 58330

Темы:   [ Построение окружностей ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Проведите через данную точку окружность, перпендикулярную двум данным окружностям.

Решение

При инверсии с центром в данной точке A искомая окружность перейдет в прямую, перпендикулярную образам данных окружностей S1 и S2, т. е. в прямую, соединяющую центры S1* и S2*. Таким образом, искомая окружность — образ при этой инверсии произвольной прямой, проходящей через центры S1* и S2*.
Прислать комментарий


Задача 58331

Темы:   [ Построение окружностей ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Постройте окружность, касающуюся данной окружности S и перпендикулярную двум данным окружностям S1 и S2.

Решение

Сделаем инверсию, переводящую окружности S1 и S2 в пару прямых (если они имеют общую точку) или в пару концентрических окружностей (см. задачу 28.6) с общим центром A. В последнем случае окружность, перпендикулярная им обеим, перейдет в прямую, проходящую через A (так как не существует окружностей, перпендикулярных двум концентрическим окружностям); касательная, проведенная из A к S*, есть образ искомой окружности при этой инверсии. Если S1* и S2* — параллельные прямые, то образ искомой окружности — любая из двух прямых, перпендикулярных S1* и S2* и касающихся S*. Наконец, если S1* и S2* — пересекающиеся в некоторой точке B прямые, то искомая окружность — это образ при инверсии любой из двух окружностей с центром B, касающихся S*.
Прислать комментарий


Задача 58332

Темы:   [ Построение окружностей ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Проведите через данные точки A и B окружность, пересекающую данную окружность S под углом $ \alpha$.

Решение

После инверсии с центром в точке A задача сводится к построению прямой l, проходящей через B*, пересекающей окружность S* под углом $ \alpha$, т. е. к построению точки X на S* такой, что $ \angle$B*XO = 90o - $ \alpha$, где O — центр S*. Эта точка лежит на пересечении S* с дугой, из которой отрезок B*O виден под углом 90o - $ \alpha$.
Прислать комментарий


Задача 116091

Темы:   [ Свойства инверсии ]
[ Построение окружностей ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.

Решение

Пусть даны прямая l и окружность S с центром O . Требуется построить образ прямой l при инверсии относительно окружности S .
Известно, что прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, — в окружность, проходящую через центр инверсии.
В первом из этих случаев образ прямой l — это сама прямая l .
Пусть прямая l не имеет с окружностью S общих точек (рис.1). Опустим перпендикуляр OP из центра инверсии на прямую l и проведём из точки P касательные к окружности S . Если A и B — точки касания, а P' — точка пересечения прямых AB и OP , то искомый образ прямой l — окружность с диаметром OP' .
Если прямая l касается окружности S , то образ прямой l при рассматриваемой инверсии — это окружность S .
Если прямая l пересекает окружность S в различных точках A и B (рис.1), но не проходит через её центр O , то строим точку C пересечения касательных к окружности S . Искомая окружность — это окружность с диаметром OC .
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .