Страница:
<< 1 2 3 >> [Всего задач: 13]
[Задача Аполлония]
|
|
Сложность: 6 Классы: 9,10
|
Постройте окружность, касающуюся трех данных
окружностей (
задача Аполлония).
Решение
Сведем эту задачу к задаче
28.10. Пусть окружность
S
радиуса
r касается окружностей
S1,
S2,
S3 радиусов
r1,
r2,
r3 соответственно. Касание окружности
S с каждой из
Si
(
i = 1, 2, 3) может быть как внешним, так и внутренним, поэтому
всего возможно восемь различных случаев касания. Пусть, например,
S касается
S1 и
S3 внешним, а
S2 — внутренним образом
(рис.). Заменим окружности
S,
S2,
S3 на концентрические
им окружности
S',
S2',
S3' так, чтобы
S' касалась
S2'
и
S3' и проходила через центр
O1 окружности
S1. Для этого
достаточно, чтобы радиусы
S',
S2',
S3' равнялись
r +
r1,
r2 +
r1, |
r3 -
r1|. Обратно, по окружности
S', проходящей
через
O1 и касающейся
S2' и
S3' (внешне, если
r3 -
r1 0,
и внутренне, если
r3 -
r1 < 0), мы можем построить окружность
S,
дающую решение задачи, уменьшив радиус
S' на
r1. Построение
такой окружности
S' описано в решении задачи
28.10 (если виды
касания заданы, то окружность строится однозначно). Таким же
способом можно выполнить построение и в остальных возможных
вариантах касания.
Проведите через данную точку окружность, перпендикулярную двум данным
окружностям.
Решение
При инверсии с центром в данной точке
A искомая
окружность перейдет в прямую, перпендикулярную образам данных
окружностей
S1 и
S2, т. е. в прямую, соединяющую центры
S1*
и
S2*. Таким образом, искомая окружность — образ при этой
инверсии произвольной прямой, проходящей через центры
S1* и
S2*.
Постройте окружность, касающуюся данной окружности
S и перпендикулярную двум данным окружностям
S1 и
S2.
Решение
Сделаем инверсию, переводящую окружности
S1 и
S2
в пару прямых (если они имеют общую точку) или в пару
концентрических окружностей (см. задачу
28.6) с общим центром
A.
В последнем случае окружность, перпендикулярная им обеим,
перейдет в прямую, проходящую через
A (так как не существует
окружностей, перпендикулярных двум концентрическим окружностям);
касательная, проведенная из
A к
S*, есть образ искомой
окружности при этой инверсии. Если
S1* и
S2* —
параллельные прямые, то образ искомой окружности — любая
из двух прямых, перпендикулярных
S1* и
S2* и касающихся
S*.
Наконец, если
S1* и
S2* — пересекающиеся в некоторой
точке
B прямые, то искомая окружность — это образ при инверсии
любой из двух окружностей с центром
B, касающихся
S*.
Проведите через данные точки
A и
B окружность,
пересекающую данную окружность
S под углом
.
Решение
После инверсии с центром в точке
A задача сводится
к построению прямой
l, проходящей через
B*, пересекающей
окружность
S* под углом
, т. е. к построению точки
X на
S*
такой, что
B*XO = 90
o -
, где
O — центр
S*.
Эта точка лежит на пересечении
S* с дугой, из которой отрезок
B*O
виден под углом
90
o -
.
С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при
инверсии относительно данной окружности.
Решение
Пусть даны прямая
l и окружность
S с центром
O .
Требуется построить образ прямой
l при инверсии относительно
окружности
S .
Известно, что прямая, проходящая через центр инверсии,
переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр
инверсии, — в окружность, проходящую через центр инверсии.
В первом из этих случаев образ прямой
l — это сама прямая
l .
Пусть прямая
l не имеет с окружностью
S общих точек (рис.1). Опустим
перпендикуляр
OP из центра инверсии на прямую
l и проведём из
точки
P касательные к окружности
S . Если
A и
B — точки
касания, а
P' — точка пересечения прямых
AB и
OP , то
искомый образ прямой
l — окружность с диаметром
OP' .
Если прямая
l касается окружности
S , то образ прямой
l при
рассматриваемой инверсии — это окружность
S .
Если прямая
l пересекает окружность
S в различных точках
A
и
B (рис.1), но не проходит через её центр
O , то строим точку
C
пересечения касательных к окружности
S . Искомая окружность —
это окружность с диаметром
OC .
Страница:
<< 1 2 3 >> [Всего задач: 13]