Страница:
<< 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
На плоскости дана прямая m и два многоугольника - M
1 и
M
2. Известно, что любая прямая, параллельная прямой
m, пересекает эти многоугольники по отрезкам равной длины.
Докажите, что площади многоугольников M
1 и
M
2 равны.
Подсказка
Разбейте многоугольники на трапеции прямыми, параллельными прямой
m. Доказывайте утверждение задачи отдельно для каждой трапеции.
Решение
Проведем прямую, параллельную m, через каждую вершину
многоугольников M
1 и M
2.
Эти прямые разобьют многоугольники M
1 и M
2
на несколько трапеций (две крайние трапеции могут выродиться в треугольники).
Рассмотрим две трапеции, соответствующие многоугольникам
M
1 и M
2, заключенных между
соседними параллельными прямыми.
В этих трапециях равны соответствующие основания (как отрезки прямых, параллельных m,
пересекающие многоугольники M
1 и M
2) и
высоты.
Отсюда следует, что их площади равны.
Таким образом, наши многоугольники M
1 и M
2
составлены из трапеций, имеющих соответственно равные площади.
Это означает, что площади многоугольников M
1 и M
2
равны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них
найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
Решение
Поместим начала всех векторов в точку O. Окружим каждый вектор конусом с вершиной O и "углом раствора" 45° (вектор направлен по оси этого конуса). Каждый конус высекает на единичной сфере (площадь которой равна 4π) шапочку. Площадь шапочки больше площади её основания – круга радиуса sin π/8, то есть больше π sin² π/8 (1 – cos π/4) > 4π/30. Поэтому какие-то две шапочки пересекаются и угол между соответствующими векторами меньше 45°.
Продолжения сторон
AD и
BC выпуклого
четырехугольника
ABCD пересекаются в точке
O;
M
и
N — середины сторон
AB и
CD,
P и
Q — середины
диагоналей
AC и
BD. Докажите, что:
а)
SPMQN = |
SABD -
SACD|/2;
б)
SOPQ =
SABCD/4.
Решение
а) Площадь параллелограмма
PMQN равна
BC . AD sin
/4, где
— угол между прямыми
AD и
BC. Высоты
треугольников
ABD и
ACD, опущенные из вершин
B и
C,
равны
OB sin
и
OC sin
,
поэтому
|
SABD -
SACD| = |
OB -
OC|
. AD sin
/2 =
BC . AD sin
/2.
б) Пусть для определенности пересекаются лучи
AD и
BC.
Так как
PN ||
AO и
QN ||
CO, точка
N лежит внутри
треугольника
OPQ. Поэтому
SOPQ =
SPQN +
SPON +
SQON =
+
+
=
=
.
На сторонах
AB и
CD выпуклого четырехугольника
ABCD
взяты точки
E и
F. Пусть
K,
L,
M и
N — середины
отрезков
DE,
BF,
CE и
AF. Докажите, что четырехугольник
KLMN
выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек
E и
F.
Решение
Отрезки
KM и
LN являются средними линиями
треугольников
CED и
AFB, поэтому они имеют общую точку — середину
отрезка
EF. Кроме того,
KM =
CD/2,
LN =
AB/2 и угол между
прямыми
KM и
LN равен углу
между прямыми
AB и
CD.
Поэтому площадь четырехугольника
KLMN равна
AB . CD sin
/8.
Середины диагоналей
AC,
BD,
CE,... выпуклого
шестиугольника
ABCDEF образуют выпуклый шестиугольник.
Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади
исходного шестиугольника.
Решение
Обозначим середины диагоналей шестиугольника
ABCDEF
так, как показано на рис. Докажем, что площадь
четырехугольника
A1B1C1D1 в четыре раза меньше площади
четырехугольника
ABCD. Воспользуемся для этого тем, что площадь
четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей на синус
угла между ними. Так как
A1C1 и
B1D1 — средние линии
треугольников
BDF и
ACE, получаем требуемое. Аналогично
доказывается, что площадь четырехугольника
D1E1F1A1 в четыре раза
меньше площади четырехугольника
DEFA.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
Фильтр
