От пирога, имеющего форму выпуклого многоугольника, разрешается
отрезать треугольный кусок ABC, где A - некоторая вершина, а B и C
- точки, лежащие строго внутри сторон, имеющих вершину A.
Вначале пирог имеет форму квадрата. В центре этого квадрата
расположена изюминка. Докажите, что ни на каком шаге от пирога
нельзя отрезать кусок, содержащий изюминку.
Подсказка
Кусок пирога всегда имеет стороны, принадлежащие сторонам
исходного квадратного пирога.
Решение
Операция отрезания устроена таким образом, что после отрезания
две стороны многоугольника укорачиваются, а также появляется новая
сторона. Таким образом, никакая сторона не отрезается полностью.
Значит, после любого числа отрезаний
кусок пирога всегда имеет четыре стороны, принадлежащие сторонам
исходного квадратного пирога.
Пусть некоторая прямая l на некотором шаге отрезала кусок,
содержащий изюминку - центр квадрата.
Тогда, как нетрудно видеть, в отрезанной части окажется целиком
одна из сторон исходного квадрата (см. картинку).
Мы получили противоречие, которое показывает, что отрезать кусок с
изюминкой невозможно.
Из шахматной доски вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать эту фигуру?
Решение
Оценка. Примем за единицу площадь одной клетки. Данная фигура
представляет собой невыпуклый шестиугольник ABCDEF площади 63 с углом 270° в вершине D (рис. справа). Если фигура разбита на треугольники, то, очевидно, точка D должна принадлежать по крайней мере двум треугольникам, причём у одного из них сторона лежит на прямой DE, а у другого – на DC. Более того, по крайней мере для одного из них она лежит на соответствующем отрезке. Для определенности предположим, что это треугольник DKL, где K лежит на отрезке DC. Тогда основание DK этого треугольника не больше DC = 1, а высота – не больше BC = 7. Поэтому SDKL ≤ 7/2. Если все треугольники равновелики, то их не меньше 63 : 7/2 = 18. Пример разрезания на 18 равновеликих треугольников см. на рис. слева.
На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость n окружностей?
Подсказка
Если k окружностей уже проведены, то (k+1)-я окружность разбивается ими не более чем на 2k дуг.
Решение
Одна окружность делит плоскость на две части. Пусть уже проведены k окружностей. Рассмотрим (k+1)-ю окружность. Она пересекает предыдущие k окружностей не более чем в 2k точках (каждую окружность – не более чем в двух точках). Следовательно, (k+1)-я окружность разбивается первыми k окружностями не более чем на 2k дуг. Каждая дуга делит одну из частей, на которые плоскость была разделена k окружностями, еще на две части. Тем самым, каждая дуга прибавляет одну часть плоскости, и (k1)-я окружность прибавляет не более 2k частей плоскости. Более того, (k+1)-я окружность прибавляет ровно 2k частей плоскости тогда и только тогда, когда она пересекает каждую из предыдущих окружностей в двух точках и все эти точки различны. Таким образом, n окружностей делят плоскость не более чем на 2 + (2 + 4 + 6 + ... + 2(n – 1)) = n(n – 1) + 2 части, причём равенство достигается, если каждая пара окружностей пересекается в двух точках и все эти точки пересечения различны (то есть никакие три окружности не проходят через одну точку).
Можно указать пример такой системы n окружностей: возьмём одну окружность, а все остальные получим из неё сдвигами на вектора a, 2a, ..., (n – 1)a, где a – достаточно малый по длине вектор (настолько малый, что первая и последняя окружности пересекаются в двух точках).
Фильтр
