Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 68]      

Докажите, что многоугольник нельзя покрыть двумя многоугольниками, гомотетичными ему с коэффициентом k, где 0 < k < 1.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры гомотетий с коэффициентом k, переводящих многоугольник M в многоугольники M₁ и M₂. Тогда точка многоугольника M, наиболее удаленная от прямой O₁O₂ не покрыта многоугольниками M₁ и M₂.

Прислать комментарий

На плоскости задано конечное множество точек. Доказать, что в нём найдётся точка, у которой имеется не более трёх ближайших к ней точек из этого же множества.

Решение

Предположим, что мы построили такое множество M точек на плоскости, в котором у каждой не менее четырёх ближайших. Пусть r — наименьшее из расстояний между его точками. Рассмотрим множество L ⊂ M всех точек, расстояние от которых до ближайших к ним равно r; в множестве L, очевидно, также у каждой точки будет не менее четырёх ближайших.
Построим выпуклую оболочку K множества L (наименьший выпуклый многоугольник, содержащий L). Пусть A — одна из крайних точек L, то есть одна из вершин K. Пусть B₁, B₂, B₃, B₄ — четыре точки из L, находящиеся на расстоянии r от A. Ясно, что любой из углов B_iAB_j не меньше 60^o, потому что |B_iB_j| ≥ r (i, j = 1, 2, 3, 4, i ≠ j). Это обстоятельство явно противоречит тому, что все точки B₁, B₂, B₃, B₄ лежат в одном угле с вершиной A, меньшем 180^o. (Решение задачи M388 a) из журнала "Квант".)

Прислать комментарий

На плоскости дано конечное число точек, причем любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой (Сильвестр).

Решение

Предположим, что не все данные точки лежат на одной прямой. Проведем через каждую пару данных точек прямую (этих прямых конечное число) и выберем наименьшее ненулевое расстояние от данных точек до этих прямых. Пусть наименьшим будет расстояние от точки A до прямой BC, где точки B и C данные. На прямой BC лежит еще одна из данных точек — некоторая точка D. Опустим из точки A перпендикуляр AQ на прямую BC. Две из точек B, C и D лежат по одну сторону от точки Q, например C и D. Пусть для определенности CQ < DQ (рис.). Тогда расстояние от точки C до прямой AD меньше, чем расстояние от точки A до прямой BC, что противоречит выбору точки A и прямой BC.

Прислать комментарий

На плоскости дано конечное число попарно непараллельных прямых, причем через точку пересечения любых двух из них проходит еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

Решение

Предположим, что не все прямые проходят через одну точку. Рассмотрим точки пересечения прямых и выберем наименьшее ненулевое расстояние от этих точек до данных прямых. Пусть наименьшим будет расстояние от точки A до прямой l. Через точку A проходят по крайней мере три данные прямые. Пусть они пересекают прямую l в точках B, C и D. Опустим из точки A перпендикуляр AQ на прямую l. Две из точек B, C и D лежат по одну сторону от точки Q, например C и D. Пусть для определенности CQ < DQ (рис.). Тогда расстояние от точки C до прямой AD меньше, чем расстояние от точки A до прямой l, что противоречит выбору A и l.

Прислать комментарий

На плоскости дано n точек и отмечены середины всех отрезков с концами в этих точках. Докажите, что различных отмеченных точек не менее 2n - 3.

Решение

Пусть A и B — наиболее удаленные друг от друга данные точки. Середины отрезков, соединяющих точку A (соответственно точку B) с остальными точками, все различны и лежат внутри окружности радиуса AB/2 с центром A (соответственно B). Полученные два круга имеют лишь одну общую точку, поэтому различных отмеченных точек не менее 2(n - 1) - 1 = 2n - 3.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 68]