Страница:
<< 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 208]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Гениальные математики. а) Каждому из двух
гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им
известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно
спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?"
Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики
предполагаются правдивыми и бессмертными.)
б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала
известно, что данные числа не превосходят 1000?
Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Семиклассник Ваня сказал, что займёт последнее место. По итогам чемпионата все заняли различные места, и оказалось, что каждый, кроме, разумеется, Вани, занял место хуже, чем ожидал. Какое место занял Ваня?
Решение
Так как каждый из школьников (кроме Вани) занял место хуже, чем ожидал, то первое место не занял никто из них. Следовательно, первое место занял Ваня.
Ответ
Первое место.
Врун всегда лжёт, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил Вруна, Хитреца и Переменчика, которые знают друг друга. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить, кто есть кто?
Решение
Спросим каждого из них по два раза: "Ты Врун?". Врун ответит: "нет, нет", а Переменчик ответит: либо "да, нет", либо "нет, да". Есть три возможных ответа Хитреца.
1) "Да, да". Тогда мы сразу узнаём, кто есть кто.
2) "Нет, нет". Тогда мы знаем, кто Переменчик и какой из двух его ответов правдив. Зададим Переменчику вопрос: "Он Врун?", указав на одного из двух оставшихся. Так как мы уже знаем, ответит ли Переменчик правду на третий вопрос, то мы поймём, кто из двоих Врун, а, значит, и кто из них Хитрец.
3) "Да, нет" или "нет, да". Тогда мы знаем, кто Врун. Зададим Вруну вопрос: "Он Хитрец?", указав на одного из двух оставшихся. По его ответу мы узнаем, кто из двоих Хитрец, а, значит, и кто из них Переменчик.
Ответ
Сможет.
В шеренге стоят 2014 человек, и одного из них зовут Артур. Каждый из стоящих в шеренге либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый, кроме Артура, сказал: "Между мной и Артуром стоят ровно два лжеца". Сколько лжецов в этой шеренге, если известно, что Артур – рыцарь?
Решение
Те, кто стоят рядом с Артуром, и те, кто стоят через одного человека от него, заведомо врут. Поэтому тот, между кем и Артуром стоят ровно два человека, – рыцарь.
Перебирая по очереди каждого стоящего за этим рыцарем, (удаляясь от Артура), убеждаемся, что все они – также рыцари.
Заметим теперь, что количество людей, стоящих в шеренге рядом с Артуром или через одного человека от него, может быть различным. Их может быть:
1) двое, если Артур – крайний в шеренге;
2) трое, если Артур – второй с краю;
3) четверо во всех остальных случаях.
Ответ
2, 3 или 4.
По кругу стоят 12 детей. Мальчики всегда говорят правду мальчикам и врут девочкам, а девочки всегда говорят правду девочкам и врут мальчикам. Каждый из них сказал одну фразу своему соседу справа: "Ты – мальчик" или "Ты – девочка". Таких фраз оказалось поровну. Сколько мальчиков и сколько девочек стоит по кругу?
Решение
Из условия следует, что каждый мальчик произносил одну и ту же фразу: "Ты – мальчик". Действительно, если его сосед справа – мальчик, то он этой фразой говорил правду, а если это девочка, то он этой фразой лгал. Аналогичное рассуждение показывает, что каждая девочка говорила только фразу: "Ты – девочка". Так как этих фраз было произнесено поровну, то по кругу стоят 6 мальчиков и 6 девочек.
Ответ
6 мальчиков и 6 девочек.
Страница:
<< 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 208]
Тема:
Все темы
>>
Логика и теория множеств
>>
Математическая логика
>>
Математическая логика (прочее)
