ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      



Задача 35673

Темы:   [ Игры-шутки ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Двое играют в двойные шахматы: все фигуры ходят как обычно, но каждый делает по два шахматных хода подряд. Докажите, что первый может как минимум сделать ничью.

Подсказка

Предположите, что второй имеет выигрышную стратегию и покажите, что первый может применить эту стратегию.

Решение

Предположим, противное, т.е. второй игрок имеет выигрышную стратегию. Это означает, что у второго есть правило П ответа на любые возможные ходы первого такое, что если второй ему следует, то независимо от ходов первого второй игрок побеждает. Пусть первый игрок первые два хода подряд сделал конем - первым ходом вывел коня, а вторым - поставил его обратно. Тогда позиция такая же как вначале, а очередь хода - у второго игрока. Таким образом, в этот момент первый игрок может воспользоваться стратегией П, чтобы наверняка выиграть. Но это противоречие тому, что у второго игрока имеется выигрышная стратегия.
Прислать комментарий


Задача 66516

Тема:   [ Игры-шутки ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Имеется три кучки по 40 камней. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо объединить две кучки, после чего разделить эти камни на четыре кучки. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из играющих (Петя или Вася) может выиграть, как бы ни играл соперник?

Решение

За ход две кучи заменяются на четыре, т.е. число куч увеличивается на 2. А сколько будет куч, когда игра закончится? В начале число куч было нечётным, поэтому, увеличиваясь на два, оно всё время будет оставаться нечётным.

Если очередной ход сделать нельзя, то в двух самых больших кучках в сумме не более 3 камней. Тогда во всех остальных кучках по 1 камню и их не менее 120 – 3 = 117 штук. То есть всего должно быть (хотя бы) 119 куч.

Но чтобы получить 119 куч, надо сделать (119 − 3) : 2 = 58 ходов. Это число чётно, значит, последний ход сделал Вася (и он выиграл).

Ответ

Вася.

Комментарий. На самом деле это игра-шутка: Вася выигрывает вне зависимости от действий игроков.
Прислать комментарий


Задача 30433

Темы:   [ Полуинварианты ]
[ Четность и нечетность ]
[ Игры-шутки ]
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8

Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

Решение

Игра будет продолжаться ровно 47 ходов (см. задачу 35544). Последний, 47-й ход (так же как и все другие ходы с нечётными номерами) сделает первый игрок.

Ответ

Начинающий.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .