Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]      

Петя склеил многогранник, затем разрезал его по рёбрам на отдельные грани, сложил в конверт и послал Ване.
Верно ли, что Ваня склеит из этих граней такой же многогранник, какой был у Пети?

Подсказка

Ваня может некоторую "выпуклость" многогранника переклеить как "вогнутость".

Решение

Контрпример. Возьмём куб и построим на одной из его граней вне куба правильную четырёхугольную пирамиду, в основании которой лежит квадрат, являющийся гранью куба, и высота которой меньше ребра куба. Из граней этого многогранника Ваня мог склеить многогранник, получающийся из куба вырезанием пирамиды, построенной на одной из граней внутрь куба.

Ответ

Неверно.

Прислать комментарий

Может ли объединение двух треугольников оказаться 13-угольником?

Решение

Объединением двух треугольников является некоторый многоугольник. Его вершинами могут являться либо вершины исходных треугольников, либо точки попарного пересечения их сторон. Вершин у двух треугольников – 6. Каждая сторона одного треугольника может пересечь не более двух сторон другого, поэтому точек попарного пересечения сторон не более, шести. Значит, всего вершин у полученного многоугольника не более 12.

Ответ

Не может.

Прислать комментарий

Если из квадратных плиток, которые отличаются только расцветкой, сложить прямоугольник $3\times 4$, как на рисунке, то целиком в нем поместится $6$ черепашек. А сколько черепашек поместится целиком в составленном таким же образом прямоугольнике $20\times 21$?

Решение

Заметим, что черепашка тогда и только тогда помещается в прямоугольнике целиком, когда центр ее панциря лежит в узле сетки, который лежит на границе четырех плиток. Таких узлов в прямоугольнике $20\times21$ будет $19\times 20=380$.

Ответ

$380$.

Прислать комментарий

Доказать, что на плоскости нельзя расположить больше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каждые два из них имели общую сторону.

Решение

Прислать комментарий

Существует ли треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, каждая сторона которого длиннее 100 клеточек, а площадь меньше площади одной клеточки?

Решение

Да. Например, треугольник с вершинами в точках (-1, 0), (100, 1) и (200, 2).

Ответ

Да.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 75]