Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 107]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64359

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  P(x) = Q(x)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x + 1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73613

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде     где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77950

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Докажите, что  2ⁿ > (1 – x)ⁿ + (1 + x)ⁿ  при целом  n ≥ 2  и  |x| < 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35392

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Последовательность {a_n} определяется правилами:  a₀ = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60736  [Малая теорема Ферма]

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда  a^p–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)^p  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 107]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями