Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 119]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109457

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.
Можно ли подобрать такие числа a, b и c, чтобы это были графики трёхчленов  ax² + bx + c,  bx² + cx + a  и  cx² + ax + b?

Решение

Пусть это удалось. У двух парабол "ветви" направлены вверх, а у одной – вниз, поэтому у двух трёхчленов старший коэффициент положительный, а у одного – отрицательный. Следовательно, среди чисел a, b и c должны быть два положительных и одно отрицательное. С другой стороны, две из парабол пересекают ось Оy в точках с отрицательными ординатами, а третья – в точке с положительной ординатой, поэтому у двух трёхчленов свободный член отрицательный, а у одного – положительный. Следовательно, среди чисел a, b и c должны быть два отрицательных и одно положительное. Противоречие.

Ответ

Нельзя.

Прислать комментарий

---

Задача 111250

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Существуют ли числа такие p и q, что уравнения  x² + (p – 1)x + q = 0  и  x² + (p + 1)x + q = 0  имеют по два различных корня, а уравнение
x² + px + q = 0  не имеет корней?

Решение

Возьмём, например,  p = 0,  q = 0,1.  Тогда первые два уравнения имеют одинаковый положительный дискриминант  (D = 1² – 4·0,1 > 0),  а третье уравнение имеет вид:  x² + 0,1 = 0.

Ответ

Существуют.

Прислать комментарий

---

Задача 115504

Тема:   [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов  x² + ax + b,  x² + cx + d,  x² + ex + f  не имеет корней.
Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?

Решение

  Обозначим эти трёхчлены через  f₁(x),  f₂(x) и  f₃(x). По условию все их попарные суммы не имеют корней, значит, каждая из функций
f₁(x) + f₂(x),  f₂(x) + f₃(x)  и  f₃(x) + f₁(x)  принимает только положительные значения.
  Следовательно,  2(f₁(x) + f₂(x) + f₃(x)) = (f₁(x) + f₂(x)) + (f₂(x) + f₃(x)) + (f₃(x) + f₁(x)) > 0 для всех x.

Ответ

Не может.

Прислать комментарий

---

Задача 116639

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Предел функции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a₉x + b₉. Известно, что последовательности  a₁, a₂, ..., a₉  и  b₁, b₂, ..., b₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

Решение

  Обозначим  P_i(x) = x² + a_ix + b_i,  P(x) = P₁(x) + ... + P₉(x).  Заметим, что  P_i(x) + P_10–i(x) = 2P₅(x).  Значит,  P(x) = 9P₅(x),  и условие равносильно тому, что P₅(x) имеет хотя бы один корень.
  Пусть x₀ – какой-нибудь из его корней. Тогда  P_i(x₀) + P_10–i(x₀) = 2P₅(x₀),  то есть либо  P_i(x₀) ≤ 0,  либо  P_10–i(x₀) ≤ 0.  Из этого следует, что в каждой из пар  (P₁, P₉),  (P₂,  P₈),  (P₃, P₇),  (P₄, P₆)  хотя бы один из трёхчленов имеет корень. Значит, есть не меньше пяти трёхчленов, имеющих корни, то есть трёхчленов без корней – не более четырёх.
  Пример, когда ровно пять трёхчленов имеют хотя бы по одному корню:  x² – 4,  x² – 3,  x² – 2,  ...,  x² + 4.

Ответ

4 трёхчлена.

Прислать комментарий

---

Задача 116803

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Средние величины ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Известно, что модули корней каждого из двух квадратных трёхчленов  x² + ax + b  и  x² + cx + d  меньше 10. Может ли трёхчлен    иметь корни, модули которых не меньше 10?

Решение

См. задачу 78022.

Ответ

Не может.

Прислать комментарий

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 119]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями