ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Материалы по этой теме:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 619]      



Задача 30312

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Решение

Отложим Петину монету в сторону. Разделим остальные 100 монет на две кучки по 50 монет и сравним веса этих кучек. Если они отличаются на чётное число граммов, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечётна, то монета фальшивая.

Ответ

Сможет.

Прислать комментарий

Задача 30946

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Раскраски ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Доска 9×9 раскрашена в девять цветов, причём раскраска симметрична относительно главной диагонали.
Доказать, что на этой диагонали все клетки раскрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Задача 32018

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них.
Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?

Решение

См. задачу 35134.

Прислать комментарий

Задача 32103

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3
Классы: 5,6,7,8,9

На турнире им. Ломоносова в институте МИМИНО были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда турнир закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечётном количестве конкурсов. Чётное или нечётное число школьников пришло на турнир в МИМИНО?

Решение

  Рассмотрим сумму количеств участников по всем пяти конкурсам. Эта сумма нечётна, так как на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников.
  С другой стороны, это же число можно получить, сложив для каждого школьника количество конкурсов, в которых он участвовал. Поскольку сумма нечётна и все слагаемые нечётны, то их количество нечётно.

Ответ

Нечётное.

Прислать комментарий

Задача 32947

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8

Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны
  а) клеточки b3 и e7;
  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?

Решение

а) См. рис.

б) См. задачу 104026 б).

Ответ

а) Можно;  б) нельзя.

Прислать комментарий

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 619]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .