Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 630]      

В клетках квадратной таблицы 10×10 расставлены числа от 1 до 100. Пусть S₁, S₂, ..., S₁₀ – суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы.
Могло ли оказаться так, что среди чисел S₁, S₂, ..., S₁₀ каждые два соседних различаются на 1?

Подсказка

Если бы условие выполнялось, то в последовательности S₁, S₂, ..., S₁₀ чётные и нечётные числа строго чередовались бы.

Решение

Если S_i и S_i+1 различаются на 1, то эти два числа имеют разную чётность, то есть в последовательности S₁, S₂, ..., S₁₀ чётные и нечётные числа строго чередуются. Значит, среди чисел S₁, ..., S₁₀ ровно пять чётных и пять нечётных. Отсюда следует, что сумма  S₁ + ... + S₁₀  нечётна. С другой стороны,
S₁ + ... + S₁₀ = 1 + 2 + ... + 100,  а в этой сумме 50 нечётных слагаемых, поэтому она чётна. Противоречие.

Ответ

Не могло.

Прислать комментарий

Каждый из людей, когда-либо живших на земле, сделал определённое число рукопожатий.
Докажите, что число людей, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно.

Решение

См. задачу 87972 б).

Прислать комментарий

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?

Решение

Соседние шестерёнки должны вращаться в противоположных направлениях. Поэтому шестерёнки с номерами 1 и 11 должны вращаться в одном направлении (все колёса с нечётными номерами вращаются в одном направлении, а с чётными – в противоположном). С другой стороны, шестерёнки с номерами 1 и 11 – соседние, поэтому они должны вращаться в противоположных направлениях.

Ответ

Не могут.

Прислать комментарий

В плоскости расположено n зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе – с третьим и т.д. Наконец, последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?

Подсказка

См. решение задачи 77980.

Ответ

При чётном n могут, при нечётном – не могут.

Прислать комментарий

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, ..., 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Доказать, что в результате получится чётное число.

Решение

Среди чисел 1, 2, ..., 99 есть 50 нечётных и 49 чётных. Рассмотрим 50 карточек, на которых написаны нечётные числа. На обратной стороне по крайней мере одной из этих карточек написано нечётное число, поэтому сумма стоящих на ней чисел чётна.

Прислать комментарий

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 630]