ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Материалы по этой теме:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 629]      



Задача 58182

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.

Решение

Предположим, что доска разбита на такие фигурки. Раскрасим клетки в шахматном порядке. Каждая фигурка содержит нечётное число
(1 или 3) чёрных клеток. Самих фигурок 25, поэтому они содержат нечётное число чёрных клеток; а всего чёрных клеток 50. Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 60632

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Обход графов ]
[ Степень вершины ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Город имеет форму квадрата 5×5:

Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место? (По каждой улице можно проходить любое число раз.)

Решение

  Оценка. Аналогично решению задачи 97840 доказываем, что длина маршрута не меньше  60 + 16 : 2 = 68.
  Доказательство возможности обхода. "Раздвоим" 8 улиц (см. рисунок). Теперь в графе 68 рёбер, и все его вершины чётны. Согласно решению задачи 30806 в нём есть эйлеров цикл.

Ответ

68.

Прислать комментарий

Задача 60633

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

а) Может ли ладья перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диагонали), побывав по одному разу на всех 64 клетках?
б) Тот же вопрос для коня.

Решение

а) См. рисунок (числа указывают последовательные положения ладьи).

б) См. задачу 30284.

Ответ

а) Может; б) не может.

Прислать комментарий

Задача 60686

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Квадратные уравнения. Формула корней ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если все коэффициенты уравнения  ax² + bx + c = 0  – целые нечётные числа, то ни один из корней этого уравнения не может быть рациональным.

Подсказка

Найдите остаток от деления дискриминанта на 8.

Решение

b² ≡ 1 (mod 8)  (см. задачу 34944),  4ab ≡ 4 (mod 8)  (так как ab нечётно). Значит, дискриминант  b² – 4ab ≡ 5 (mod 8)  и поэтому не может быть полным квадратом.

Прислать комментарий

Задача 64517

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

Решение

Если в ряду есть две единицы подряд, вычеркнем их. При этом разность  M – N  не изменится: число "чётных" пар с одной единицей равно числу "нечётных" пар с другой; а на чётности пар, куда эти единицы не входят, это не повлияет. Также можно стереть и два нуля, стоящих подряд. Продолжая эти стирания, мы придём к ряду (возможно, пустому), где нули и единицы чередуются. Но у такого ряда  N = 0.

Прислать комментарий

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 629]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .