ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Материалы по этой теме:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 629]
Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток. Решение Предположим, что доска разбита на такие фигурки. Раскрасим клетки в шахматном порядке. Каждая фигурка содержит нечётное число
Город имеет форму квадрата 5×5: Решение Оценка. Аналогично решению задачи 97840 доказываем, что длина маршрута не меньше 60 + 16 : 2 = 68. Ответ68.
а) Может ли ладья перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диагонали), побывав по одному разу на всех 64 клетках? Решениеа) См. рисунок (числа указывают последовательные положения ладьи). б) См. задачу 30284. Ответа) Может; б) не может.
Докажите, что если все коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0 – целые нечётные числа, то ни один из корней этого уравнения не может быть рациональным. ПодсказкаНайдите остаток от деления дискриминанта на 8. Решениеb² ≡ 1 (mod 8) (см. задачу 34944), 4ab ≡ 4 (mod 8) (так как ab нечётно). Значит, дискриминант b² – 4ab ≡ 5 (mod 8) и поэтому не может быть полным квадратом.
В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что M ≥ N. РешениеЕсли в ряду есть две единицы подряд, вычеркнем их. При этом разность M – N не изменится: число "чётных" пар с одной единицей равно числу "нечётных" пар с другой; а на чётности пар, куда эти единицы не входят, это не повлияет. Также можно стереть и два нуля, стоящих подряд. Продолжая эти стирания, мы придём к ряду (возможно, пустому), где нули и единицы чередуются. Но у такого ряда N = 0.
Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 629] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |