Страница:
<< 1 2 3
4 >> [Всего задач: 18]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если
а) чёрных граней больше половины;
б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 10,11
|
Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых
A, параллельными
переносами, переводящими
A в каждую из остальных вершин, образуется 8
равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников
пересекаются (по внутренним точкам).
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.
(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)
б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.
в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.
г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого
находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет.
(Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.)
Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.
Страница:
<< 1 2 3
4 >> [Всего задач: 18]
Фильтр
