Страница:
<< 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 110]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
|
Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?
Решение
Пусть турнир шёл в шесть кругов, C выиграл четыре партии (три у B и одну у A) и проиграл пять, B выиграл три (все у C) и проиграл три, A выиграл две (у C) и проиграл одну. Тогда A набрал 6,5 очков, B – 6, а C – 5,5.
Ответ
Может.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
20 шахматистов сыграли турнир в один круг. Корреспондент "Спортивной газеты" написал в своей заметке, что каждый участник этого турнира выиграл столько же партий, сколько и свёл вничью. Докажите, что корреспондент ошибся.
Решение
Будем давать за победу два очка, за ничью – одно, за поражение – ноль. Если журналист прав, тогда число очков, набранных каждым участником, кратно 3. Но всего в турнире разыгрывается 20·19 очков, а это число на 3 не делится.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
|
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну белыми фигурами, другую – чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
Решение
Всего в турнире разыгрывалось n(n – 1) очков. Поэтому каждый участник набрал n – 1 очко. Каждый шахматист сыграл белыми n – 1 партию, и количество выигранных им партий белыми равно одному из n чисел: 0, ..., n – 1. Предположим, что все выиграли разное число партий белыми. Тогда реализованы все возможные варианты от 0 до n – 1.
Рассмотрим двух участников турнира: A, выигравшего n – 1 партию белыми, и B, не выигравшего ни одной такой партии. Каким мог быть результат партии, которую A играл против B чёрными? С одной стороны, A набрал n – 1 очко, играя белыми, так что все свои партии чёрными, в том числе и эту, он проиграл. Но B не выиграл белыми ни одной партии, значит, не мог выиграть и эту. Противоречие.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?
Решение
Каждая команда сыграла 15 игр и поэтому могла набрать самое большее 15·3 = 45 очков. Значит, команда успешная, если у неё не меньше 23 очков.
Но одна из команд набрала не больше среднего возможного числа очков. А даже если все встречи были результативными, среднее равно
15·1.5 = 22,5.
Покажем, что в чемпионате могло быть 15 успешных команд. Пронумеруем команды. Пусть команда номер 16 проигрывает всем остальным. Расположим номера остальных команд (числа от 1 до 15) по кругу. Пусть каждая из этих команд выиграет у следующих по кругу семи команд (а остальным проиграет). Тогда 15 команд выиграют по 8 игр и наберут по 24 очка.
Ответ
15 команд.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Решение
В турнире разыграно не менее 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 очков, а поскольку за игру команды в сумме набирали не более трёх очков, то сыграно не менее пяти игр. Но пять игр не могло произойти, поскольку тогда все игры закончились чьей-либо победой, и не будет команды, набравшей одно очко.
За шесть игр это могло случиться: например, команды A и B, B и E, D и E сыграли вничью, а C, D, E выиграли у A.
Ответ
6 игр.
Страница:
<< 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 110]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Текстовые задачи
>>
Таблицы и турниры
>>
Турниры и турнирные таблицы
