Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60911  [Последовательность Морса]

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Итерации ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Последовательность Морса. Бесконечная последовательность из нулей и единиц

построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже написанному куску последовательности приписывается новый кусок той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а единиц — нулями.
а) Какая цифра стоит на 2001 месте?
б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической?
в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10.
г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза подряд.
д) Как, зная представление числа n в двоичной системе счисления, найти n-й элемент данной последовательности?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66202

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Итерации ] [ Двоичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.
  а) Докажите, что  α_n < ³/₁₆  для некоторого n .
  б) Может ли случиться, что  α_n > ⁷/₄₀  при всех натуральных n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97774

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
  а)  N = 64,
  б)  N = 55,
  в)  N = 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109835

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66000

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Уравнения в целых числах ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Могут ли три различных числа вида  2ⁿ + 1,  где n – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями