Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]

Задача 60875

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Двоичная система счисления	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Определим последовательности чисел {x_n} и {d_n} условиями

x₁ = 1, x_{n + 1} = [ $\displaystyle \sqrt{2x_n(x_n+1)}$ ], d_n = x_{2n + 1} - 2x_{2n - 1} (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что число $\sqrt{2}$ в двоичной системе счисления представляется в виде $\sqrt{2}$ = (d₁, d₂d₃...)₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73715

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Логарифмические неравенства	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 8+
Классы: 10,11

Автор: Бардзинь Я.М.

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию f_T(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1», «верно ли, что n не меньше 10k + 2» и так далее. Тогда f_T(n) = a + 2 + ^{(n – a)}/₁₀, где a — последняя цифра числа n, то есть f_T(n) растёт примерно как ⁿ/₁₀.

а) Предложите стратегию, для которой функция f_T растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции f_T ввести функцию f_T, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел f_T(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу f_T для произвольной стратегии T.

Прислать комментарий Решение

Задача 60896

Темы:	[	Текстовые задачи (прочее)	]
	[	Итерации	]
	[	Двоичная система счисления	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.
Сколько всего гусей было в стае?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98396

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

а) На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97?
б) На доске выписаны числа 1, 2¹, 2², 2³, ..., 2¹⁰. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60555

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Двоичная система счисления	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть представление числа n в двоичной системе выглядит следующим образом: n = 2^e₁ + 2^e₂ +...+ 2^e_r (e₁ > e₂ > ... > e_r ≥ 0).
Докажите, что n! делится на 2^n–r, но не делится на 2^n–r+1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]