Каталог по темам

Выбрано 10 задач

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K.
Найдите KC, если BC = 4, а AK = 6.

Решение

Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.

Решение

В треугольнике FGH угол G прямой, FG = 8, GH = 2. Точка D лежит на стороне FH, A и B — точки пересечения медиан треугольников FGD и DGH. Найдите площадь треугольника GAB.

Решение

На каждой из клеток доски размером 9×9 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

Решение

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

Решение

Авторы: Фадин М., Коваленко К.

Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число a > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N² чисел. При каких N это могло случиться?

Решение

В треугольнике ABC точка M – середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO = BP.
Найдите отношение OM : PC.

Решение

Хорды AB и AC равны между собой. Образованный ими вписанный в окружность угол равен 30^o. Найдите отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.

Решение

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99) равна ${\frac{1}{4}}$ $\left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$ 1 - ${\frac{d^2}{R^2}}$ $\left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$ S_ABC, где d = PO.

Решение

Решить систему уравнений:
x₁ + x₂ + x₃ = 6,
x₂ + x₃ + x₄ = 9,
x₃ + x₄ + x₅ = 3,
x₄ + x₅ + x₆ = –3,
x₅ + x₆ + x₇ = –9,
x₆ + x₇ + x₈ = –6,
x₇ + x₈ + x₁ = –2,
x₈ + x₁ + x₂ = 2.

Решение

Задача 76423

Задача 76440

Задача 76520

Задача 79468

Задача 79481