Гипотенуза прямоугольного треугольника равна a, один из острых углов равен α.
Найдите расстояния от основания высоты, опущенной на гипотенузу, до катетов треугольника.

   Решение

Последовательность многочленов  P₀(x) = 1,  P₁(x) = x,  P₂(x) = x² – 1, ...  задается условием  P_n+1(x) = xP_n(x) – P_n–1(x).
Докажите, что уравнение  P₁₀₀(x) = 0  имеет 100 различных действительных корней на отрезке  [–2, 2].  Что это за корни?

   Решение

У выпуклых четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' соответственные стороны равны. Доказать, что если A > A', то B < B', C > C' и D < D'.

   Решение

Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины треугольника.

   Решение

В правильной треугольной призме плоскость, проходящая через сторону одного основания и противоположную ей вершину другого основания, образует с плоскостью основания угол, равный 45^o . Площадь сечения равна S . Найдите объём призмы.

   Решение

Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

   Решение

Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось составить некоторый прямоугольник из нескольких подобных между собой непрямоугольных треугольников. Можно ли ему верить? (Среди подобных треугольников могут быть и равные.)

   Решение

Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
  а) 2012,
  б) 2013 плоскостей симметрии?
  в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Как расположены плоскости симметрии ограниченного тела, если оно имеет две оси вращения? (Осью вращения тела называется прямая, после поворота вокруг которой на любой угол тело совмещается само с собой.)

Прислать комментарий

Решение

Какое наибольшее число осей симметрии может иметь пространственная фигура, состоящая из трёх прямых, из которых никакие две не параллельны и не совпадают?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
  для простоты шестёренки считаются кругами;
  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
  а) 2012,
  б) 2013 плоскостей симметрии?
  в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

Прислать комментарий

Решение

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
  а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁;  A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁;  B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]