ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Многочлены >> Специальные многочлены >> Многочлены Чебышева
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2 из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2).


Вниз   Решение

Докажите, что для любых x1,..., xn $ \in$ [0; $ \pi$] справедливо неравенство:

sin$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$.


ВверхВниз   Решение

Основание призмы ABCA1B1C1 – равносторонний треугольник ABC со стороной a . Ортогональная проекция вершины A1 совпадает с центром основания ABC , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60o . Найдите боковую поверхность призмы.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что у многочлена 2Tn(x/2) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь Tn – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

  с решениями  

Задача 61100

Темы:   [ Многочлены Чебышева ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Проверьте, что многочлены Чебышёва Tn(x) и Un(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T0(x) = 1,   T1(x) = x;   U0(x) = 1,   U1(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   Tn+1(x) = 2xTn(x) – Tn–1(x),   Un+1(x) = 2xUn(x) – Un–1(x).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61101

Темы:   [ Многочлены Чебышева ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что у многочлена 2Tn(x/2) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь Tn – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61106

Темы:   [ Многочлены Чебышева ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрические уравнения ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность многочленов  P0(x) = 1,  P1(x) = x,  P2(x) = x² – 1, ...  задается условием  Pn+1(x) = xPn(x) – Pn–1(x).
Докажите, что уравнение  P100(x) = 0  имеет 100 различных действительных корней на отрезке  [–2, 2].  Что это за корни?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107816

Темы:   [ Многочлены Чебышева ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Куликов Е.Ю.

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .

Прислать комментарий     Решение

Задача 61109

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Многочлены Чебышева ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

При подстановке в многочлены Чебышёва (см. задачу 61099) числа  x = cos α  получаются значения

 

Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число  x = sin α?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .