Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 103]

Задача 58488

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Нормаль к эллипсу в точке A пересекает малую полуось в точке Q, P — проекция центра эллипса на нормаль. Докажите, что AP^.AQ = a², где a — большая полуось.

Прислать комментарий Решение

Задача 58490

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Окружность, центр которой лежит на эллипсе, касается двух сопряженных диаметров. Докажите, что радиус окружности не зависит от выбора сопряженных диаметров.

Прислать комментарий Решение

Задача 58491

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

а) Из точки O проведены касательные OP и OQ к эллипсу с фокусами F₁ и F₂. Докажите, что

$\displaystyle \angle$ POQ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ PF₁O + $\displaystyle \angle$ PF₂O).

б) Отрезок AB виден из фокусов F₁ и F₂ под углами $\varphi_{1}^{}$ и $\varphi_{2}^{}$ , соответственно. Докажите, что $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ = α + β (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58492

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

К эллипсу с центром O проведены две параллельные касательные l₁ и l₂. Окружность с центром O₁ касается (внешним образом) эллипса и прямых l₁ и l₂. Докажите, что длина отрезка OO₁ равна сумме полуосей эллипса.

Прислать комментарий Решение

Задача 58493

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Окружность радиуса r с центром C, лежащим на большей полуоси эллипса, касается эллипса в двух точках; O — центр эллипса, a и b — его полуоси. Докажите, что

OC² = $\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 103]