Версия для печати
Убрать все задачи

---

Старинный замок был обнесён треугольной стеной. Каждая сторона стены была поделена на три равные части, и в этих точках, а также в вершинах были построены башни. Всего вдоль стены было 9 башен: A, E, F, B, K, L, C, M, N. Со временем все стены и башни, кроме башен E, K, M, разрушились. Как по оставшимся башням определить, где находились башни A, B, C, если известно, что башни A, B, C стояли в вершинах?

   Решение

---

Известно, что разность кубов корней квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  равна 2011. Сколько корней имеет уравнение  ax² + 2bx + 4c = 0?

   Решение

---

Точки P , Q , R и S расположены в пространстве так, что середины отрезков SQ и PR лежат на сфере радиуса a , а отрезки PS , PQ , QR и SR делятся сферой на три части в отношении 1:2:1 каждый. Найдите расстояние от точки P до прямой QR .

   Решение

---

Что больше:     или   ?

   Решение

---

Докажите, что  (bc, ac, ab)  делится на  (a, b, c)².

   Решение

---

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35736

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AC и дугой BC некоторой окружности. Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам её площадь.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56786

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что  MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56787

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56790

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Периметр треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108106

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Треугольник ABC с острым углом  ∠A = α  вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями