Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.

   Решение

Дан тетраэдр ABCD , в котором AB = BD = 3 , AC = CD = 5 , AD = BC = 4 . Найдите AM , где M – точка пересечения медиан грани BCD .

   Решение

Все рёбра треугольной пирамиды равны a. Найти наибольшую площадь, которую может иметь ортогональная проекция этой пирамиды на плоскость.

   Решение

В правильном тетраэдре ABCD с ребром a точка M – середина AB . Найдите угол и расстояние между прямыми AD и CM . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезки CM и AD ?

   Решение

Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.

   Решение

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

   Решение

а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B. Проведите через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a и b в таких точках A₁ и B₁, что AA₁ = BB₁.
б) Проведите через точку C прямую, равноудаленную от данных точек A и B.

   Решение

Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?

   Решение

В прямоугольнике ABCD длины отрезков AB и BD равны соответственно 2 и . Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C, K - середина AD. Что больше: длина BK или длина AM?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1359]      

Укажите неравносторонний треугольник, который можно разделить на три равных треугольника.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 1 и 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше: длина AC или длина BK?

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольнике ABCD длины отрезков AB и BD равны соответственно 2 и . Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C, K - середина AD. Что больше: длина BK или длина AM?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 5 и 6. Точка K делит сторону AC в отношении 3:1, считая от точки A, AH - высота треугольника ABC. Что больше: 2 или отношение длины BK к длине AH?

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AC равна 2, длина боковой стороны равна 8. Точка K делит высоту BD треугольника в отношении 2:3, считая от точки B. Что больше: длина CK или длина AC?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1359]