Рассмотрим два различных четырёхугольника с соответственно равными сторонами.
Докажите, что если у одного из них диагонали перпендикулярны, то и у другого тоже.

   Решение

Прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой     положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?

   Решение

Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

   Решение

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

   Решение

На дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC взята точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что  ¹/_PQ = ¹/_PB + ¹/_PC.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 295]      

Сторона правильного треугольника равна a. Найдите радиус вневписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что  AP = BP + CP.

Прислать комментарий

Решение

На дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC взята точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что  ¹/_PQ = ¹/_PB + ¹/_PC.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, лежащей на окружности, до вершин правильного вписанного в эту окружность треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.

Прислать комментарий

Решение

Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K – середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 295]