ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Методы >> Принцип Дирихле >> Принцип Дирихле (прочее)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K.
Найдите KC, если  BC = 4,  а  AK = 6.

Вниз   Решение

Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике FGH угол G прямой, FG = 8, GH = 2. Точка D лежит на стороне FH, A и B — точки пересечения медиан треугольников FGD и DGH. Найдите площадь треугольника GAB.

ВверхВниз   Решение

На каждой из клеток доски размером 9×9 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

ВверхВниз   Решение

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

ВверхВниз   Решение

Авторы: Фадин М., Коваленко К.

Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число  a > 1  на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N² чисел. При каких N это могло случиться?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC точка M – середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что  BO = BP.
Найдите отношение  OM : PC.

ВверхВниз   Решение

Хорды AB и AC равны между собой. Образованный ими вписанный в окружность угол равен 30o. Найдите отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.

ВверхВниз   Решение

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99) равна  $ {\frac{1}{4}}$$ \left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$1 - $ {\frac{d^2}{R^2}}$$ \left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$SABC, где d = PO.

ВверхВниз   Решение

Решить систему уравнений:
   x1 + x2 + x3 = 6,
   x2 + x3 + x4 = 9,
   x3 + x4 + x5 = 3,
   x4 + x5 + x6 = –3,
   x5 + x6 + x7 = –9,
   x6 + x7 + x8 = –6,
   x7 + x8 + x1 = –2,
   x8 + x1 + x2 = 2.

ВверхВниз   Решение

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

ВверхВниз   Решение

Про квадратный трехчлен  f(x) = ax² – ax + 1  известно, что  | f(x)| ≤ 1  при  0 ≤ x ≤ 1.  Найдите наибольшее возможное значение а.

ВверхВниз   Решение

Конфеты "Сладкая математика" продаются по 12 штук в коробке, а конфеты "Геометрия с орехами" – по 15 штук в коробке.
Какое наименьшее число коробок конфет того и другого сорта необходимо купить, чтобы тех и других конфет было поровну?

ВверхВниз   Решение

На плоскости нарисован треугольник ABC. Постройте прямую, параллельную основанию AB, которая бы отрезала от треугольника ABC трапецию, в которой сумма боковых сторон была бы равна основанию, противоположному AB.

ВверхВниз   Решение

Окружность разделена точками A, B, C, D так, что  ⌣AB : ⌣ BC : ⌣ CD : ⌣ DA = 3 : 2 : 13 : 7.  Хорды AD и BC продолжены до пересечения в точке M.
Найдите угол AMB.

ВверхВниз   Решение

Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.
  а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.
  б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 369]      

  с решениями  

Задача 21998

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных; словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбили на шесть непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.

Прислать комментарий     Решение

Задача 23304

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и –1 так, чтобы все суммы чисел по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 32785

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8

Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.
  а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.
  б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?
Прислать комментарий     Решение

Задача 35453

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8

Имеется 101 пуговица одного из 11 цветов. Докажите, что либо среди этих пуговиц найдутся 11 пуговиц одного цвета, либо 11 пуговиц разных цветов.
Прислать комментарий     Решение

Задача 35506

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8

Можно ли таблицу  n×n  заполнить числами –1, 0, 1 так, чтобы суммы во всех строках, во всех столбцах и на главных диагоналях были различны?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 369]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .