Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Даны две окружности, пересекающиеся в точках $A$, $B$, и точка $O$, лежащая вне их. Циркулем и линейкой постройте такой луч с началом $O$, пересекающий первую окружность в точке $C$, а вторую – в точке $D$, чтобы отношение $OC:OD$ было максимальным.
РешениеПусть Докажите равенство φ(n) = n(1 – 1/p1)...(1 – 1/ps).
а) пользуясь мультипликативностью функции Эйлера;
б) пользуясь формулой включения-исключения.
Определение функции Эйлера φ(n) см. в задаче 60758.
РешениеВ треугольнике $ABC$ провели высоты $AX$ и $BZ$, а также биссектрисы $AY$ и $BT$. Известно, что углы $XAY$ и $ZBT$ равны. Обязательно ли треугольник $ABC$ равнобедренный?
РешениеНа сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD взяты точки M и N так, что AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM – в точке L. Докажите, что SKMLN = SADK + SBCL.
Решение
Задачи
Задача 108032 |
|
Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.
|
|
Решение |
Задача 108039 |
|
|
В шестиугольнике ABCDEF, вписанном в окружность, AB = BC, CD = DE, EF = FA.
Докажите, что площадь треугольника BDF равна половине площади шестиугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 108595 |
|
|
Внутри квадрата ABCD лежит квадрат PQRS. Отрезки AP, BQ, CR и DS не пересекают друг друга и стороны квадрата PQRS.
Докажите, что сумма площадей четырёхугольников ABQP и CDSR равна сумме площадей четырёхугольников BCRQ и DAPS.
|
|
|
Решение |
Задача 111655 |
|
|
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD взяты точки M и N так, что AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM – в точке L. Докажите, что SKMLN = SADK + SBCL.
|
|
|
Решение |
Задача 111698 |
|
|
На трёх отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 101]
