Версия для печати
Убрать все задачи
Дан треугольник
ABC. Найдите ГМТ
X, удовлетворяющих
неравенствам
AX 
BX CX.
Решение
В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1; A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1; B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.
Решение
Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не
превосходит половины площади этого треугольника.
Решение
Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным
a .
Решение
В треугольнике PQR на стороне PR взята точка S так, что
отрезок PS в три раза больше отрезка SR, а сумма углов QPR и QRP равна углу PSQ.
Найдите периметр треугольника PQS, если PR = 8, а cos∠PQR = – 23/40.
Решение
На биссектрисе внешнего угла
C треугольника
ABC взята точка
M, отличная от
C. Докажите, что
MA +
MB >
CA +
CB.
Решение
Конус расположен внутри треугольной пирамиды
SABC так,
что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной
из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой
поверхности. Найдите объём пирамиды, если длина образующей
конуса равна 1,
ABS = 
,
BSC = 
,
SCB = 
.
Решение
Фильтр
